Electricidad

Campo eléctrico
Campo eléctrico creado por una carga puntual a una distancia r	E = q / ( 4 pe_or²) es un vector e_o: permitividad dieléctrica del vacío: 8.85 10^-12 C²/(N m²) 1 / ( 4 pe_o) = 9 10⁹ N m² / C²
Principio de superposición	El campo eléctrico total creado por varias cargas en un punto es la suma de los campos que cada carga crea en el punto.
Fuerza que actúa sobre una carga Q	F = Q E
Ley de Coulomb	E = q Q / ( 4 pe_or²)
Teorema de Gauss forma integral	ò E d s = q_n /e_o donde q_n es la carga neta encerrada por la superficie gaussiana
forma diferencial	Ñ E = div E = r / e_o
- Campo eléctrico a una distancia r de una carga lineal infinita	E = l / [ 2 pe_or ]
- Campo eléctrico creado por un plano cargado uniformemente	E = s / 2 e_o
- Campo eléctrico entre las placas de un condensador de placas plano paralelas	E = s / e_o
- Campo eléctrico sobre el eje de un anillo de radio R	E = [1 / 4 p e_o] [q x / (x² + R²)^3/2]
- Campo eléctrico sobre el eje de un disco de densidad de carga uniforme s	E = [ s / 2 e_o] [1 - x / (x² + R²)^1/2]
- Esfera uniformemente cargada	E = Q / [4 p e_o r²] si r ³ R E = Q / [4 p e_o R²] si r = R E = Q r / [4 p e_o R³] si r £ R
Dipolos
Momento dipolar	p = q d donde d es la distancia de separación entre dos cargas iguales y de signo opuesto
en forma vectorial	p = q d, donde d es el vector que va de la carga negativa a la positiva
Potencial de un dipolo (r >> d)	V = p cos q / [4 pe_o r²]
Campo eléctrico (r >> d)	E = p / [4 pe_o r³]
Campo eléctrico en un punto de la bisectriz	E = p / [4 pe_o (r² + d²/ 4)^3/2]
Dipolo en un campo externo	t = p x E
Energía potencial	U = - p E

Potencial eléctrico
Potencial eléctrico creado por una carga puntual a una distancia r	V = q / ( 4 pe_or) es un escalar
Principio de superposición	El potencial eléctrico total creado por varias cargas en un punto es la suma de los potenciales que cada carga crea en el punto.
Trabajo para transportar una carga q desde un punto A a un punto B	W = q (V_A - V_B)
- Potencial eléctrico sobre el eje de un anillo de radio R	V = [Q / (4 pe_o R)] / (x² + R²)^1/2
- Potencial eléctrico sobre el eje de un disco de densidad de carga uniforme s = Q / S	V = [Q / (2 pe_o R)] [(x² + R²)^1/2 - x]
Ecuaciones de Poisson y Laplace
Relación entre el campo eléctrico y el potencial	E = - Ñ V
Teorema de Gauss en forma integral	ò E d s = q_n /e_o
Teorema de Gauss en forma diferencial	Ñ E = div E = r / e_o
Ecuación de Poisson	Ñ² V = - r / e_o
Ecuación de Laplace	Ñ² V = 0

Campo y potencial eléctricos creados por distribuciones esféricas de carga
		Campo eléctrico	Potencial eléctrico
r = cte	r > R	r R³ / (3 e_o r²)	r R³ / (3 e_o r)
	r = R	r R / (3 e_o)	r R² / (3 e_o)
	r < R	r r / (3 e_o)	[r / (6 e_o) ] (3 R² - r²)
	r = 0	0	r R² / (2 e_o)
r = k r	r > R	k R⁴ / (4 e_o r²)	k R⁴ / (4 e_o r)
	r = R	k R² / (4 e_o)	k R³ / (4 e_o)
	r < R	k r² / (4 e_o)	k (4 R³ - r³ )/ (12 e_o)
	r = 0	0	k R³ / (3 e_o)
r = k / r	r > R	k R² / (2 e_o r²)	k R² / (2 e_o r)
	r = R	k / (2 e_o)	k R / (2 e_o)
	r < R	k / (2 e_o)	[ k / (2 e_o)] (2 R - r)
	r = 0	k / (2 e_o)	k R / e_o

Conductores
El campo eléctrico en el interior de un conductor en equilibrio es cero.
La carga se localiza sobre la superficie (concentrándose en "las puntas")
El potencial es constante e igual al que hay en la superficie
Condensadores
Capacidad	C = q / D V donde D V = V₊ - V_-
- Condensador de placas plano paralelas	C = e_oS / d donde S es la superficie de una de las placas y d la distancia de separación entre ellas
- Esfera de radio R	C = 4 p e_o R
- Condensador esférico de radios R₁ y R₂	C = 4 p e_o R₂ R₁ / (R₂ - R₁)
- Condensador cilíndrico de radios R₁ y R₂	C = 2 p e_o L / ln (R₂/R₁)
Asociación en serie de condensadores	1 / C = 1 / C₁ + 1 / C₂ + ... misma carga q₁ = q₂ = ... = q V = V₁ + V₂ + ...
Dos condensadores asociados en serie	C = C₁ C₂ / (C₁ + C₂)
Asociación en paralelo de condensadores	C = C₁ + C₂ + ... misma tensión V₁ = V₂ = ... = V q = q₁ + q₂ + ...

Dieléctricos
Vector desplazamiento eléctrico	D = e_o E + P donde P es el vector polarización
Dieléctrico lineal, homogéneo e isótropo	P = e_o k_eE donde k_e es la susceptibilidad eléctrica
	D = e E, e = e_o k, k = 1 + k_e donde k es la constante dieléctrica
Densidad de carga superficial inducida	s´ = P n donde n es el vector unitario perpendicular a la superficie
Densidad de carga volúmica inducida	r´ = - Ñ P
La carga total de un dieléctrico polarizado es nula, cualquiera que sea su estado de polarización.
Teorema de Gauss para dieléctricos	ò D d s = q_l donde q_l es la carga libre
Efectos de introducir un dieléctrico de constante K en el interior de un condensador	La capacidad aumenta en un factor K La tensión y el campo eléctrico disminuyen en dicho factor

Energía electrostática
U = (1/2) S S (1 / 4 p e_o) q_i q_j / r_ij = (1/ 2) S q_i V_i(r_i) donde V_i = S q_j / (4 p e_or_ij)
por ejemplo, para tres cargas	U = (1 / 4 p e_o) [ q₁ q₂ / r₁₂ + q₁ q₃ / r₁₃ + q₂ q₃ / r₂₃]
Conductor aislado	U = q² / (2 C) = C V² / 2 = q V / 2
Energía electrostática por unidad de volumen (densidad de energía electrostática)	u = U / V = e_o E² / 2
Energía electrostática	U = ò (e_o E² / 2) dV donde la integral se extiende a todo el volumen
Energía electrostática en un dieléctrico	U = ò ( D E / 2) dV
- Energía electrostática de una esfera conductora de radio R y carga Q	E = Q² / [8 p e_o R]

Unidades
e_o: permitividad dieléctrica del vacío	C²/ (N m²)
k_e: susceptibilidad eléctrica	no tiene unidades
K = 1 / ( 4 pe_o) =	= 9 . 10⁹ N m² / C² (Sistema Internacional) = 1 (Sistema C.G.S.)
q: carga	C = culombios 1 C = 3 . 10⁹ ueeq
E: campo eléctrico	N / C
V: potencial eléctrico	V = voltios 1 V = (1 / 300) ueeV
W: trabajo U: energía electrostática	J = julios
C: capacidad	F = faradios 1 F = 9 . 10¹¹ uee

Magnetismo

Magnetostática
Campo magnético creado por una carga en movimiento	B = [m_o / 4p] [ q v x r ] / r³
Ley de Biot y Savart	d B = [m_o / 4p] [ I d l x r ] / r³ donde m_o = 4 p10^-7(mo: permeabilidad magnética), r es el vector que va del elemento d l al punto en el que queremos calcular el campo magnético

- Campo magnético creado por una corriente rectilínea infinita de intensidad I en un punto situado a una distancia r	B = m_o I / [ 2 p r]
- Campo magnético creado por una espira circular de radio R por la que circula una intensidad I en el centro de la misma	B = m_o I / [ 2 R]
- Una bobina plana circular que comprende N espiras paralelas muy próximas, de radio medio R en el centro	B = m_o N I / [ 2 R]
- Campo magnético en el eje de una espira de radio r a una distancia x	B = m_o R² I / [ 2 (x² + r²)^3/2]
- Campo magnético creado por una espira cuadrada de lado L por la que circula una intensidad I en el centro de la misma	B = 2 m_o I Ö2 / [ p L]
- Campo magnético creado por un conductor rectilíneo finito a una distancia y (ángulos medidos desde el punto a los extremos del conductor)	B = m_o I (sen q₁ + sen q₂) / [4 p y]
- Campo magnético creado por un solenoide indefinido en su interior	B = m_o N I / L N: número de espiras L: longitud del solenoide
- Campo magnético creado por un solenoide en su interior	B = m_o N I (cos q₁ + cos q₂) / (2 L) donde los ángulos son los que forma desde el punto, el eje del solenoide con los extremos del mismo
- Campo magnético de un toroide formado por N espiras cada una transportando una corriente I, siendo a y b los radios interior y exterior del toroide	B = m_o N I / [ 2 p r] si a < r < b B = 0 si r > b ó r < a
Fuerza
Fuerza sobre un elemento de corriente	d F = I d L x B
Fuerza sobre un conductor rectilíneo	F = I L x B
Fuerza de Lorentz	F = q (E + v x B)
Fuerza por unidad de longitud entre corrientes paralelas	F / L = m_o I₂ I₂ / 2 p d
mismo sentido	se atraen
sentidos opuestos	se repelen
Definición de amperio	Si por dos conductores paralelos muy largos situados a una distancia de 1 m entre sí circulan corrientes iguales, se define la corriente en cada uno de ellos como igual a un amperio si la fuerza por unidad de longitud sobre cada conductor es 2 10^-7 N / m
Campo magnético creado por un conductor de radio a que transporta una corriente uniformemente distribuida en su área transversal	m_o I / [ 2 p r] si r > a
	m_o I / [ 2 p a] si r = a
	m_o I r / [ 2 p a²] si r < a

Una partícula eléctrica que penetra perpendicularmente a las líneas de fuerza de un campo magnético uniforme toma un movimiento circular uniforme de radio R	R = m v / (q B)
	T = 2 p m / (q B)
	w = q B / m
Ley de Ampére	ò B dl = m_o I _en
Densidad de corriente J	I = ò J d s

Momento magnético
- Momento magnético de un cuadro rectangular	N S I donde N es el número de espiras, S la superficie de las mismas e I la intensidad
- Momento del par que produce la rotación de un cuadro rectangular o una espira circular recorrido por una corriente I y puesto en un campo magnético	M = B S I sen j
Momento dipolar magnético	m = m = N I S (es perpendicular al plano de la bobina)
Par en una bobina de corriente (momento de torsión sobre una espira)	M = N I S B sen j M = N I S x B = m x B
Energía potencial asociada al momento de la fuerza	U = - m B

Inducción electromagnética
Flujo del campo magnético	f_B = ò B ds
Ley de Faraday - Lenz (fuerza electromotriz inducida)	e = - d f_B / d t
para N espiras:	e = - N [d f_B / d t]
Ley de Lenz	El flujo producido por la corriente inducida se opone a la variación del flujo inductor
Fuerza electromotriz inducida en un conductor en movimiento	e = - B L v
Generación de corriente alterna	f_B = B S cos q = B S cos (w t) e = B S w sen (w t) = e_o sen (w t)
Autoinducción (L, no confundirla con la L de longitud empleada anteriormente)
Coeficiente de autoinducción	L _ii = f _ii / I _i
Autoinducción de una bobina	L = m_o N² S / l
Energía almacenada en una autoinducción	E = L I² / 2
Inducción mutua
Coeficiente de inducción mutua	M _ji = f _ji / I _i =M _ij = f _ij / I _j

Medios magnéticos
H: intensidad magnética / excitación magnética	B = m H
M: imantación	M = c H
	c: susceptibilidad magnética
	M = B / m_o - H
	B = m_o H + m_oM = m_o (H + M)
Ley de Ampére para medio magnéticos	ò H dl = I _en
Ecuación constitutiva	m = m_o (1 + k_m)
Vector densidad de corriente superficial de imantación	Js = M x n
Vector densidad de corriente volúmica de imantación	Jv = rot M
	D = e E
	J = s E
Ecuación de continuidad	ò J ds = - d q(t) / dt
Teorema de Gauss	ò D ds = Q (t)
Materiales diamagnéticos, paramagnéticos y ferromagnéticos
Diamagnéticos	c_m < 0 Los valores absolutos de c_m son pequeños.
Paramagnéticos	c_m > 0 En muchos casos la susceptibilidad paramagnética depende fuertemente de la temperatura:
Ley de P. Curie (1859 - 1906)	c_m = m -1 = constante / T
Ferromagneticos	Posee una temperatura característica denominada temperatura de Curie.

Energía magnética
densidad de energía magnética: u = B² / (2 mo)	U = (1 / 2 m_o) ò_¥B² dV = L I² / 2 donde el ¥ significa que la integral se extiende a todo el espacio (donde exista campo magnético)
densidad de energía magnética: u = B H / 2	U = (1 / 2) ò_¥ B H dV

Ecuaciones de Maxwell
Ñ x H = J_c + ¶ D / ¶ t	Ñ D = r
Ñ x E = - ¶ B / ¶ t	Ñ B = 0

Ley de Gauss para el campo magnético	ò B ds = 0, pues hasta el momento no se han encontrado monopolos magnéticos, "el equivalente magnético de simples cargas eléctricas"
Forma general de la ley de Faraday	Un campo magnético variable produce un campo eléctrico: ò E d l = - d f_B / d t donde f_B = ò B ds

	forma integral	forma diferencial
1ª: ley de Gauss de la electricidad	ò E d s = q_n /e_o	div E = Ñ E = r / e_o
2ª: ley de Gauss del magnetismo	ò B ds = 0	div B = Ñ B = 0
3ª: ley de la inducción de Faraday-Henry	ò E d l = - d f_B / d t donde f_B = ò B ds	rot E = Ñ x E = - ¶ B / ¶ t
4ª: ley de Ampere	ò B dl = mo I + m_o e_o d f_E / d t donde e_o d f_E / d t = id (corriente de desplazamiento)	rot B = Ñ x B = m_o J + m_oe_o¶ E / ¶ t

Ondas electromagnéticas
¶²E (x, t) / ¶ x² = m_o e_o¶²E (x, t) / ¶ t²	E (x, t) = E_o sen (k x - w t)
¶²B (x, t) / ¶ x² = m_o e_o¶²B (x, t) / ¶ t²	B (x, t) = B_o sen (k x - w t)
donde	E_o = c B_o k c = w 1 / c² = m_o e_o
Campo magnético a partir del campo eléctrico	B = (u_k x E) / c
Campo eléctrico a partir del campo magnético	E = c B x u_k
Vector de Poynting	S = E x H = (E x B) / m_o lleva la dirección de propagación de la onda
Intensidad de una onda electromagnética	I = e_o c E_o² / 2
Densidad de energía	r_E (E) = e_o E² / 2 r_E (B) = B² / (2 m_o) r_E (E y B) = e_o E² / 2 + B² / (2 m_o) = e_o E²
Momento lineal y presión	Las ondas electromagnéticas transportan un momento lineal por lo que pueden ejercer presión sobre las superficies. La presión de radiación de una onda electromagnética que incide perpendicularmente sobre una superficie que la absorbe totalmente es: p = S / c

Transformadores
V_s / V_p = N_s / N_p I_s / I_p = N_p / N_s V_s / V_p = I_p / I_s	V_s : Tensión en bornes del secundario; N_s : número de espiras en el secundario V_p : Tensión en bornes del primario; N_p : número de espiras en el primario
Si N_s > N_p	Transformador elevador
Si N_s < N_p	Transformador reductor

Efecto Hall
Cuando un conductor que transporta corriente se mantiene firmemente en un campo magnético, el campo ejerce una fuerza lateral en las cargas que se mueven en el conductor.
e E_H = e v_d B ==> E_H = v_d B	donde E_H es el campo Hall, v_d la velocidad de deriva de los electrones.
fem del efecto Hall	e_H= E_H L = v_d B L donde L es el ancho del conductor

Unidades
I: Intensidad	A = amperios
J: Densidad de corriente	A / m²
B: Campo magnético	tesla 1 Tesla = 10⁴ gauss = miriagauss
f: Flujo del campo magnético	weber = tesla . m² 1 maxwell = 1 gauss . cm² 1 weber = 10⁸ maxwell
L	H = henrio, en honor a Joseph Henry (1797 - 1878)
m_o: permeabilidad magnética	wb / (A m)

Corriente eléctrica

Intensidad de corriente	I = dq / dt
Intensidad de corriente	I = n e S v n: número de electrones por unidad de volumen; e: carga del electrón; S: sección del conductor; v: velocidad de los electrones
Densidad de corriente J	I = ò J d s J = I / S = n e v = s E siendo s la conductividad
Ecuación de continuidad de la corriente eléctrica	¶ r_el(r) / ¶ t + div j (r) = 0
Resistencia	R = r l / S r : resistividad (r = 1 / s); l : longitud del conductor; S : sección transversal del mismo
Variación de la resistividad con la temperatura:	r = r_o (1 + a Dt ) a : coeficiente de variación de la resistividad con la temperatura
Ley de Ohm	I = V / R
Trabajo de la corriente eléctrica	W = V I t = R I² t = (V² / R) t V: diferencia de potencial
Efecto Joule	Calor = 0.24 V I t = 0.24 R I² t = 0.24 (V² / R) t
Potencia de la corriente eléctrica	P = W / t = V I = R I² = V² / R
Ley de Ohm generalizada	I = S E_i / S R_i
Diferencia de potencial entre dos puntos de un circuito	Va - Vb = I S R_i - S E_i

Generadores y receptores
Generadores
Se llama fuerza electromotriz (fem) de un generador al cociente entre la potencia P del generador y la intensidad I que proporciona: E = P / I
Potencia suministrada por un generador	P = (Va - Vb) I + r I² = E I siendo r la resistencia interna del mismo y Va - Vb la diferencia de potencial entre sus bornes
La diferencia de potencial Va - Vb entre los bornes de un generador es igual a la diferencia entre la fem del generador y la caída de potencial (r I) en el interior del generador	Va - Vb = E - r I
El rendimiento de un generador es igual al cociente de la diferencia de potencial de sus bornes y su fem	h = Pe / P = (Va - Vb) / E
Receptores
Se llama fuerza contraelectromotriz (fcem) de un generador al cociente entre la potencia Pr gastada por el aparato (potencia del receptor) y la intensidad I que la atraviesa: E ' = Pr / I
La diferencia de potencial entre los bornes de un receptor es igual a la suma de la fcem del receptor más la caída óhmica del portencial (r ' I) en la resistencia interior del aparato	Vc - Vd = E ' + r ' I
El rendimiento de un receptor (motor) es igual al cociente de la su fcem E ' y la diferencia de potencial aplicada a sus bornes	h = Pr / P = E ' / (Vc - Vd)

Asociación de resistencias
En serie	R = R₁ + R₂ + ... misma intensidad I₁ = I₂ = ... = I V = V₁ + V₂ + ...
En paralelo	1 / R = 1 / R₁ + 1 / R₂ + ... misma tensión V₁ = V₂ = ... = V I = I₁ + I₂ + ...
Dos resistencias en paralelo:	R = R₁ R₂ / (R₁ + R₂)

Asociación de n generadores iguales
En serie	I = n E / (R + n r) r : resistencia interna de cada generador R : resistencia externa E: fuerza electromotriz
En paralelo	I = E / (R + r / n)
Asociación mixta de n generadores en serie en m líneas en paralelo (cada elemento tiene una fem E y una resistencia interna r)	I = n E / [R + n r / m]

Leyes de Kirchhoff
Ley de los nudos	La suma de las intensidades que entran en un nudo es igual a la suma de las que salen. o bien: S I_i = 0
Ley de las mallas	La suma algebraica de las fem una malla es igual a la suma también algebraica de los productos de las intensidades que recorren la malla por las resistencias que atraviesan en la misma. S E_i = S I_i R_i Signos: - en las pilas (E_i): si el sentido de recorrido (arbitrario) de la malla entra por el polo negativo (por el pequeño) y sale por el positivo (el grande), el signo de E_i es positivo - en las resistencias (producto de I_i R_i): si el sentido de recorrido (arbitrario) de la malla coincide con el sentido (arbitrario) de recorrido de la internsidad, el producto I_i R_i es positivo

Aparatos de medida
Voltímetro	- Mide diferencias de potencial - Se coloca en paralelo - Posee una resistencia elevada
Amperímetro	- Mide intensidades - Se coloca en serie - Resistencia pequeña

Circuito RC
Carga de un condensador
Carga de un condensador que se está cargando	Q = E C [1 - exp (-t / (RC))]
Voltaje en un condensador que se está cargando	V_C = E [1 - exp (-t / (RC))]
Constante de tiempo	t = R C
Corriente en la resistencia	I = (E / R) exp [-t / (RC)]
Descarga de un condensador
La carga del condensador disminuye exponencialmente con respecto al tiempo	Q = Q_o exp [-t / (RC)]
La corriente en la resistencia disminuye también exponencialmente	I = I_o exp [-t / (RC)]
Constante de tiempo	t = R C

Unidades
q: carga	C = culombios
E: campo eléctrico	N / C
V: potencial eléctrico	V = voltios
W: trabajo	J = julios 1 Kw h = 3,6 10⁶ J
R: resistencia	W = ohmios
I: intensidad	A = amperios
P: Potencia	w = watios

Corriente alterna


e (t) = E₀ sen (w t) w = 2 p n	Mayúsculas: constantes (no dependen del tiempo) Minúsculas: dependen del tiempo
Circuito R L C serie
E₀ sen (w t) = i (t) R + L d i (t) / dt + (1/C) ò i (t) dt Solución: i (t) = I_o sen (w t - j)
Caida de tensión en la resistencia:	v_R (t) = i (t) R = I_o R sen (w t - j)
Caida de tensión en la autoinducción:	v_L (t) = L d i (t) / dt = L I_o cos (w t - j)
Caida de tensión en el condensador:	v_C (t) = (1/C) ò i (t) dt = - [I_o / (Cw)] cos (w t - j)
Impedancia	Z = (R² + X²)^1/2
Reactancia:	X = X_L - X_C
Reactancia inductiva:	X_L = L w
Reactancia capacitiva:	X_C = 1 / (C w)
Factor de potencia	cos j = R / Z
Ley de Ohm	I_o = E_o / Z
Los aparatos de medida registran valores eficaces, no máximos: Valor eficaz = valor máximo / Ö2	I_e = I_o/ Ö2 E_e = E_o/ Ö2
Resonancia	X_L = X_C
Frecuencia de resonancia:	n_R = 1 / [ 2 p (L w)^1/2 ]
Potencia de la corriente alterna	p (t) = e (t) i (t)
Potencia activa (potencia media: valor medio de la potencia):	P = E_e I_e cos j
Potencia reactiva:	P = E_e I_e sen j
Potencia aparente:	P = E_e I_e

Notación compleja (j² = -1)	Resistencia: R Autoinducción (bobina): j w L Condensador: 1 / ( j C w) = - j / (w C)
Asociación de impedancias
En serie	Z = Z₁ + Z₂ + ...
En paralelo	Y = Y₁ + Y₂ + ... donde Y = 1 / Z es la admitancia

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