Cálculo

Cálculo Infinitesimal

Infinitos (cuando n ®¥)
Una función W (n) es un infinito cuando su límite vale ¥
a_o n^b + a₁ n^b-1 + a₂ n^b-2 + ... ~ a_o n^b	Todo polinomio es equivalente a su término de mayor grado
ln [ a_o n^b + a₁ n^b-1 + a₂ n^b-2 + ... ] ~ ln [ n^b ]
Órdenes de infinitud	nⁿ > n! > cⁿ > n^b > ln a
	n ! <> (2 p n)^1/2 n^p e^-n (Stirling)
Infinitésimos equivalentes (cuando x ® 0)
Una función w (x) es un infinitésimo cuando su límite vale 0	sen x ~ tan x ~ arc sen x ~ arc tan x ~ x 1 - cos x ~ x² / 2 ln (1 + x) ~ x
ln (u) ~ u - 1 (cuando u ® 1)

Límites
Indeterminaciones	¥ / ¥, ¥ - ¥, 1^¥, 0 / 0, ¥.0, 0⁰
Número e	e = lim (1 + 1 / n)ⁿ (cuando n ®¥)
Si f (n) ® 1 y g (n) ®¥	lim f (n) ^{g (n)} = exp { lim [f (n) - 1] g (n) }
Regla de L´Hôpital	Resuelve indeterminaciones de la forma 0 / 0.
Regla de L´Hôpital	lim f (x) / g (x) = lim f ' (x) / g ' (x) (cuando x ® x_o)

Series (todos los límites que aparecen en este apartado son cuando n tiene a ¥)
Sucesión:	a₁, a₂, ..., a_n, ...
Serie:	S a_n = a₁ + a₂ + ... a_n + ... El sumatorio se extiende desde n = 1 a ¥
Término general:	a_n
Condición necesaria de convergencia	lim a_n = 0
Serie armónica:	a_n = 1 / n^a	a > 1 : converge a £ 1 : diverge
Criterio de comparación	Sean S a_n y S b_n dos series.	Si lim [ a_n / b_n ] = finito, entonces ambas series tienen el mismo carácter
Criterio de la raíz:	lim (a_n)^1/n	< 1 : converge > 1 : diverge = 1 : duda
Criterio del cociente:	lim a_n+1 / a_n	< 1 : converge > 1 : diverge = 1 : duda (se resuelve por Raabe)
Criterio de Raabe:	lim { n [1 - (a_n+1 / a_n) ] }	> 1 : converge < 1 : diverge = 1 : duda
Criterio logarítmico:	lim [ ln (1/a_n) / ln n]	> 1 : converge < 1 : diverge = 1 : duda (aplicamos el criterio integral)
Criterio integral

Suma de series
Series artimético - geométricas	Término general de la forma a_n g_n donde a_n es el término general de una progresión aritmética (polinomio de grado n) y g_n el de una progresión geométrica convergente (razón < 1)
Series hipergeométricas	Cuando a_n+1 / a_n = [a n + b] / [a n + g] Condición de convergencia: g > a + b Suma: a₁ g / [g - a - b]
Series reducibles a hipergeométricas	Cociente de dos polinomios. p es el grado del numerador y q es el número de factores que aparecen en el denominador. Se descompone en (p + 1) sumandos de q - p factores cada uno. Debe verificarse que q ³ p + 2
Series de Stirling	El término general es el cociente de dos polinomios. p es el grado del numerador y q el del denominador. Debe verificarse que q ³ p + 2 Descomponemos en suma de fracciones simples.
Suma de series por descomposición del término general	Cuando a_n = f (n) - f (n+a)
Número e	e = S 1 / n! El sumatorio se extiende desde n = 0 a ¥

Tabla de derivadas
Notación: y ' = dy /dx
u, v, w = f (x)	n, c = constantes
Función	Derivada
u + v	u' + v'
c u	c u'
uⁿ	n u^n-1 u'
u v	u' v + u v'
u v w	u' v w + u v' w + u v w'
u / v	( u' v - u v' ) / v²
u^1/2	u' / (2 u^1/2)
ln ½u½	u' / u
a^u	a^uu' ln ½a½
e^u	u' e^u
arc tg u	u' / (1 + u²)
arg tgh u	u' / (1 - u²)
arc sen u	u' / (1 - u²)^1/2
arg senh u	u' / (1 + u²)^1/2
sen u	u' cos u
cos u	- u' sen u
tg u	u' / cos² u

Representación gráfica de funciones
*	Dominio (campo de existencia)	Valores de x para los cuales existe y
	Recorrido	Valores de y para los cuales existe x
	Periodicidad	Función periódica de periodo T, cuando f (x + T) = f (x)
*	Puntos de corte con los ejes	Con el eje x, hacemos y = 0
	Puntos de corte con los ejes	Con el eje y, hacemos x = 0
*	Simetrías. Paridad de la función	Si la función es par, es decir, si f (-x) = f (x), es simétrica respecto del eje OY
	Simetrías. Paridad de la función	Si la función es impar, es decir, si f (-x) = - f (x), es simétrica respecto del eje origen
*	Regiones por donde pasa	Se estudia el signo de la funcion y = f (x)
*	Asíntotas	Verticales: son los ceros del denominador
		Horizontales: son de la forma y = m, donde m = lim f (x) cuando x ®¥
		Oblícuas: son de la forma y = m x + n, donde m = lim f (x) / x n = lim [ f (x) - m x ]
		Es interesante estudiar la posición de la curva respecto de la asíntota. - Si la asíntota es vertical, las regiones por donde pasa nos lo indican. - Si la asíntota es oblícua, se calcula el signo de la función: y_curva - y_asíntota
*	Crecimiento y decrecimiento	Se estudia el signo de la primera derivada. - Si f ´ (x) > 0 : crece - Si f ´ (x) < 0 : decrece El punto en que la fución pasa de ser creciente a decreciente, es un máximo (relativo). El punto en que la fución pasa de ser decreciente a creciente, es un mínimo (relativo).
*	Máximos y mínimos	Se calcula el signo de la segunda derivada en los puntos (x_o) que anulan la primera. - Si f ´´ (x_o) > 0 : mínimo - Si f ´´ (x_o) < 0 : máximo
*	Puntos de inflexión	Puntos que anulan la segunda derivada (pero no la tercera)
*	Concavidad y convexidad	Se estudia el signo de la segunda derivada - Si f ´´ (x_o) > 0 : concavidad en forma de È - Si f ´´ (x_o) < 0 : concavidad en forma de Ç

Cálculo Integral. Integrales indefinidas.

ò [ f(x) + g(x) ] dx = ò f(x) dx + ò g(x) dx

ò c f(x) dx = c ò f(x) dx

Integrales inmediatas
u = u (x); n y a son constantes Con u' se designa la derivada de u (respecto de x) A todas las integrales se les debe añadir una constante de integración (cte). Sólo indicamos el integrando y el resultado de la integral (función y su primitiva). Así por ejemplo la primera integral debe interpretarse: ò u' uⁿ dx = [ uⁿ⁺¹ / (n+1) ] + cte (siempre que n ¹ -1)
General		Caso particular (u = x)
Integrando	Resultado de la integral	Integrando	Resultado de la integral
u' uⁿ (siempre que n ¹ -1)	uⁿ⁺¹ / (n+1)	xⁿ	xⁿ⁺¹ / (n+1)
u' / u	ln ½u½	1 / x	ln ½x½
u' a^u	a^u/ ln ½a½	a^x	a^x/ ln ½a½
u' e^u	e^u	e^x	e^x
u' / (1 + u²)	arc tg u	1 / (1 + x²)	arc tg x
u' / (1 - u²)	arg tgh u	1 / (1 - x²)	arg tgh x
u' / (1 - u²)^1/2	arc sen u	1 / (1 - x²)^1/2	arc sen x
u' / (1 + u²)^1/2	arg senh u	1 / (1 + x²)^1/2	arg senh x
u' cos u	sen u	cos x	sen x
u' sen u	- cos u	sen x	- cos x
u' / cos² u	tg u	1 / cos² x	tg x

Integrales de funciones trigonométricas
Consideremos la integral: ò R (sen x, cos x) dx
Si R (sen x, cos x) es impar en sen x; R (- sen x, cos x) = - R (sen x, cos x)
cos x = t	sen x = (1- t²)^1/2		dx = - dt / (1 - t²)^1/2
Si R (sen x, cos x) es impar en cos x; R (sen x, - cos x) = - R (sen x, cos x)
sen x = t	cos x = (1- t²)^1/2		dx = dt / (1 - t²)^1/2
Si R (sen x, cos x) es par en sen x y cos x; R (- sen x, - cos x) = R (sen x, cos x)
tg x = t	sen x = t / (1 + t²)^1/2	cos x = 1 / (1 + t²)^1/2	dx = dt / (1 + t²)
Sustitución general
tg (x/2) = t	sen x = 2 t / (1 + t²)	cos x = (1 - t²) / (1 + t²)	dx = 2 dt / (1 + t²)
Consideremos la integral: ò sen^m x cosⁿ x dx (m y/o n pueden ser positivos o negativos)
Si m es impar		Se hace el cambio cos x = t
Si n es impar		Se hace el cambio sen x = t
Si m y n tiene igual paridad		Se hace el cambio tg x = t

Integración por descomposición (para funciones trigonométricas)
ò sen mx cos nx dx = ½ ò [sen (mx + nx) + sen (mx - nx)] dx
ò cos mx cos nx dx = ½ ò [cos (mx + nx) + cos (mx - nx)] dx
ò sen mx sen nx dx = ½ ò [cos (mx - nx) - cos (mx + nx)] dx
Otros cambios
sen² x = ½ (1 - cos 2x)	cos² x = ½ (1 + cos 2x)

Integrales de funciones hiperbólicas
Consideremos la integral: ò R (senh x, cosh x) dx
Si R (senh x, cosh x) es impar en senh x; R (- senh x, cosh x) = - R (senh x, cosh x)
cosh x = t	senh x = (t² - 1)^1/2		dx = dt / (t² - 1)^1/2
Si R (senh x, cosh x) es impar en cosh x; R (senh x, - cosh x) = - R (senh x, cosh x)
senh x = t	cosh x = (1 + t²)^1/2		dx = dt / (1 + t²)^1/2
Si R (senh x, cosh x) es par en senh x y cosh x; R (- senh x, - cosh x) = R (senh x, cosh x)
tgh x = t	senh x = t / (1 - t²)^1/2	cosh x = 1 / (1 - t²)^1/2	dx = dt / (1 - t²)
Sustitución general
tgh (x/2) = t	senh x = 2 t / (1 - t²)	cosh x = (1 + t²) / (1 - t²)	dx = 2 dt / (1 - t²)

Integración por descomposición (para funciones hiperbólicas)
ò senh mx cosh nx dx = ½ ò [senh (mx + nx) + senh (mx - nx)] dx
ò cosh mx cosh nx dx = ½ ò [cosh (mx + nx) + cosh (mx - nx)] dx
ò senh mx senh nx dx = ½ ò [cosh (mx + nx) - cosh (mx - nx)] dx
Otros cambios
senh² x = ½ (1 + cosh 2x)	cosh² x = ½ (cosh 2x - 1)

Integración por partes
ò u d v = u v - ò v du
Regla nmotécnica para recordar la fórmula anterior: Undía ví un viejo soldado vestido de uniforme

Integrales de funciones racionales (cociente de dos polinomios)
1. Si el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador	Se hace el cociente y se aplica la regla del cociente D = d C + R ==> D / d = C + R / d donde D es el dividendo, d el divisor, C el cociente y R el resto.
2. Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador	Obtenemos las raíces del denominador y descompondremos el integrando en fracciones simples según como sean dichas raíces. Los coeficientes de las fracciones simples se obtienen desarrollando los polinomios e igualando coeficientes a ambos lados o dando valores "astutos" a la x (precisamente las raíces del denominador) o empleando ambos métodos.
2.1. Raíces del denominador reales y distintas	1 / (x²-1) = A / (x-1) + B / (x+1)
2.2. Raíces del denominador reales y múltiples	x / (x-1)² = A / (x-1)² + B / (x-1)
2.3. Raíces del denominador reales, distintas y múltiples (mezcla de 2.1 y 2.2)	1 / [x (x-1)²] = A / x + B / (x-1)² + C / (x-1)
2.4. Raíces del denominador complejas conjugadas	Buscamos en el numerador la derivada del denominador (para obtener un logaritmo neperiano) y con lo que queda buscamos una arcotangente.
2.5. Raíces del denominador complejas y reales (mezcla de los casos anteriores)	Descomponemos en fracciones simples cada una como se conoce excepto en el factor cuadrático irreducible (raíces complejas) en el que pondremos un polinomio de grado una unidad inferior 1 / [x² (x-1) (x²+1)] = A / x² + B / x + C / (x-1) + (Dx + C) / (x²+1)
2.6. Raíces del denominador complejas y múltiples	Método de Hermite

Integrales impropias
De primera especie	Cuando tiene infinito su intervalo de integración. Criterio del límite Calculamos (cuando x tiende a¥) lim f(x) x^a = k finito (puede ser cero) con a > 1 ==> la integral es convergente distinto de cero (puede ser ¥) con a £ 1 ==> la integral es divergente
De segunda especie	Cuando el integrando no está acotado en algún punto del intervalo de integración

Cálculo Diferencial

Teoremas de Rolle, Lagrange y Cauchy
Teorema de Rolle
Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a,b] y diferenciable en su interior (a, b), con f (a) = f (b) entonces existe al menos un número c en (a, b) tal que	f ´ (c) = 0
Interpretación geométrica	Existe un punto del intervalo en el que la recta tangente es horizontal (paralela al eje del abcisas)
Teorema del valor medio de Cauchy
Sean f y g funciones diferenciables en un intervalo (a, b) y continuas en [a, b]. Si g´(x) ¹ 0 " x Î (a, b), $ c (a, b) /	[ f (b) - f (a) ] / [ g(b) - g (a) ] = f´ (c) / g´ (c)
Teorema del valor medio para derivadas
Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a,b] y diferenciable en su interior (a, b) entonces existe al menos un número c en (a, b) tal que	[ f (b) - f (a) ] / (b - a) = f´ (c)
Interpretación geométrica	Existe un punto del intervalo en el que la recta tangente es paralela a la recta que une los punto (a, f(a)) y (b, f(b))

Desarrollos en serie de potencias
Taylor	f (x) @ f (x_o) + f '(x_o) (x - x_o) / 1! + f ''(x_o) (x - x_o)² / 2! + f '''(x_o) (x - x_o)³ / 3! + ...
McLaurin	f (x) @ f (0) + f '(0) x / 1! + f ''(0) x² / 2! + f '''(0) x³ / 3! + ...
Algunos desarrollos en torno al punto x_o = 0
e^x	1 + x + x² / 2! + x³ / 3! + ...
ln (1 + x)	x - x² / 2 + x³ / 3 - x⁴ / 4 + ...
sen x	x - x³ / 3! + x⁵ / 5! - x⁷ / 7! +...
arc sen x	x + x³ / 6 + 3 x⁵ / 40 + 5 x⁷ / 112 + ...
cos x	1 - x² / 2! + x⁴ / 4! - x⁶ / 6! +...
tg x	x + x³ / 3 + 2 x⁵ / 15 +...
arc tg x	x - x³ / 3 + x⁵ / 5 - x⁷ / 7 + x⁹ / 9 - ....
(1 + x)^m	1 + m x + m (m-1) x²/ 2! +...
1 / (1 - x)	1 + x + x² + x³ + x⁴ + ...

Campos escalares y vectoriales
Campo escalar	f = f (x, y, z)
Campo vectorial	A (x, y, z) = A_x (x, y, z) i + A_y (x, y, z) j + A_z (x, y, z) k

Operador nabla
Ñ = (¶ / ¶x ) i + (¶ / ¶y ) j + (¶ / ¶z ) k
Gradiente de una función escalar f	Ñ f = (¶ f / ¶x ) i + (¶ f / ¶y ) j + (¶ f / ¶z ) k
Divergencia de una función vectorial A	Ñ A = (¶ A_x/ ¶x ) + (¶ A_y/ ¶y ) + (¶ A_z/ ¶z )
Rotacional de una función vectorial A	Ñ x A = [(¶ A_z/ ¶y ) - (¶ A_y/ ¶z ) ] i + [(¶ A_z/ ¶x ) - (¶ A_x/ ¶z ) ] j + [(¶ A_y/ ¶x ) - (¶ A_x/ ¶y ) ] k
Laplaciano de una función escalar f	Ñ² f = (¶² f / ¶x² ) + (¶² f / ¶y² ) + (¶² f / ¶z² )
Laplaciano de una función vectorial A	Ñ² A = (¶²A_x/ ¶x² ) + (¶²A_y / ¶y² ) + (¶²A_z / ¶z² )

	Se aplica a un	Da como resultado un
Gradiente	escalar	vector
Divergencia	vector	escalar
Rotacional	vector	vector
Laplaciana de un vector	vector	escalar
Laplaciana de un escalar	escalar	escalar

Cálculo de Varias Variables

Límites de funciones de varias variables

Para calcular lim f (x, y) cuando (x, y) --> (x_o, y_o) se calculan:
1. Límites sucesivos o reiterados (primero calculamos el límite cuando x tiende a x_o y después cuando y tiende a y_o o al revés)
2. Límites direccionales a través de las rectas que pasan por el punto (x_o, y_o). y = y_o+ m (x - x_o)
Estos límites direccionales deben ser independientes del valor de m (y coincidir con los límites sucesivos o reiterados calculados anteriormente)
3. Comprobamos el resultado mediante el cambio a polares: x = x_o + r cos q , y = y_o + r sen q

Funciones homogéneas
Definición	Una función z = f (x, y ) es homogénea de grado m si: f (t x, t y) = t^m f (x, y)
Fórmula de Euler	x (¶ f / ¶ x) + y (¶ f / ¶ y ) = m f (x, y)

Funciones implícitas: F (x, y) = 0

Teorema de existencia y unicidad de funciones implícitas:
1. F (a, b) = 0
2. $ F'x y F'y y son continuas en un entorno del punto P (a, b)
3.1. Si F'y (a, b) ¹ 0, la ecuación F (x, y) = 0 define a y como función implícita de x. ==> y = y (x)
3.2. Si F'x (a, b) ¹ 0, la ecuación F (x, y) = 0 define a x como función implícita de y. ==> x = x (y)

Integración múltiple

Integrales curvilíneas

Integral curvilínea en el plano

ò P (x, y) dx + Q (x, y) dy
(integral a través de la trayectoria C)

en cartesianas:

Pondremos la y (a partir de la ecuación de la trayectoria) en función de x, con lo que obtendremos una integral simple (en función de x), con los límites de integración para la x
y = y (x) => dy = y ' (x) dx

O bien, pondremos la x (a partir de la ecuación de la trayectoria) en función de y, con lo que obtendremos una integral simple (en función de y), con los límites de integración para la y
x = x (y) => dx = x ' (y) dy

en paramétricas:

Pondremos la x y la y en función de un parámetro t
x = x (t) => dx = x' (t) dt
y = y (t) => dy = y' (t) dt

Si la trayectoria es una circunferencia de radio R centrada en el origen: x² + y² = R², resolveremos en paramétricas con el cambio:
x = R cos t => dx = - R sen t dt
y = R sen t => dx = - R sen t dt

Si la trayectoria es una circunferencia de radio R con centro en el punto (x_o, y_o): (x - x_o)² + (y - y_o)² = R², resolveremos en paramétricas con el cambio:
x = x_o + R cos t => dx = - R sen t dt
y = y_o + R sen t => dx = - R sen t dt

Si la trayectoria es una elipse de semiejes a y b centrada en el origen: x² / a² + y²/ b² = 1, resolveremos en paramétricas con el cambio:
x = a cos t => dx = - a sen t dt
y = b sen t => dx = - b sen t dt

Si la trayectoria es una elipse de semiejes a y b con centro en el punto (x_o, y_o): (x - x_o)² / a² + (y - y_o)²/ b² = 1, resolveremos en paramétricas con el cambio:
x = a cos t => dx = - a sen t dt
y = b sen t => dx = - b sen t dt

Dependencia e independencia del camino

Si se verifica que ¶ P (x , y) / ¶ y = ¶ Q (x , y) / ¶ x
- la integral curvilínea es independiente del camino seguido, depende únicamente de los puntos inicial y final.
- si la trayectoria es cerrada, la integral curvilinea es nula (siempre y cuando esta trayectoria no englobe ningún punto singular).
- existe asociada a ella una función potencial F (x, y) /
¶ F (x , y) / ¶ x = P (x, y)
¶ F (x , y) / ¶ y = Q (x, y)

Integral curvilínea en el espacio

ò X (x, y, z) dx + Y (x, y, z) dy + Z (x, y, z) dz

Dependencia e independencia del camino

Si el rotacional del campo vectorial V (x, y, z) = X (x, y, z) i + Y (x, y, z) j + Z (x, y, z) k es nulo,
- la integral curvilínea es independiente del camino.
- existe asociada a ella una función potencial F (x, y, z) /
¶ F (x , y, z) / ¶ x = X (x, y, z)
¶ F (x , y, z) / ¶ y = Y (x, y, z)
¶ F (x , y, z) / ¶ z = Z (x, y, z)

Integrales dobles

òò f (x, y) dx dy
(la integral doble se extiende a la región del plano R)

Si f (x, y) = 1, la integral doble nos da el área de la región R: Área = òò dx dy

en cartesianas:

- Si integramos primero en y, trazamos paralelas al eje y y vemos por donde entran y por donde salen (expresaremos la y en función de x); los límites para la x irán del valor más pequeño al más grande.
- Si integramos primero en x, trazamos paralelas al eje x y vemos por donde entran y por donde salen (expresaremos la x en función de y); los límites para la y irán del valor más pequeño al más grande.

mediante cambio de variable:

Sea
x = x (u, v)
y = y (u, v)
d x dy = ½D (x , y) / D (u, v)½du dv, donde ½D (x , y) / D (u, v)½es el jacobiano de la transformación:

Integrales triples

òòò f (x, y, z) dx dy dz
(la integral triple se extiende al volumen V)

Si f (x, y, z) = 1, la integral triple nos da el volumen de la región V: Volumen = òòò dx dy dz

- Si integramos primero en z, trazamos paralelas al eje z y vemos por donde entran y por donde salen (expresaremos la z en función de x e y). A continuación resulta una integral doble extendida a la región R, proyección del volumen anterior sobre el plano z = 0.

Integrales de superficie

òò f (x, y, z) d s
(la integral se extiende a la superficie s)

Si f (x, y, z) = 1, la integral de superficie nos da la superficie de la región s: Superficie = òò ds

Si proyectamos sobre el plano z = 0: S = òò [ 1 + (¶z /¶x)² + (¶z/¶y)²]^1/2 dx dy
la integral doble se extiende sobre la proyección de la superficie sobre el plano xy

Áplicaciones lineales y endomorfismos

Aplicaciones lineales

Sean dos espacios vectoriales E = {x, y, z ...} (dim E = n) y E' = {x', y', z' ...} (dim E' = m) definidos sobre el mismo cuerpo conmutativo K. Se llama aplicación lineal a toda aplicación E ® E'
(x) ® x'= f (x)que verifica las propiedades: I. f (x + y) = f (x) + f (y)
II. f (l x) = l f (x)Endormorfismo: Aplicación lineal de un espacio vectorial en sí mismo (E = E ')

Expresión matricial de la aplicación lineal:
Las columnas de la matriz de la aplicación lineal son las imágenes de los vectores de la base de E referidos a la base de E'. f (x) = A (x)La matriz A tendrá dimensiones n x m.

Cambio de la matriz de la aplicación lineal al cambiar las bases
Tenemos inicialmente B_E y B_E'. La matriz es A₁.
Cambiamos de B_E a B'_E y de B_E' a B'_E' mediante matrices de paso P₁ y P₂, respectivamente. La nueva matriz será A₂. A₂ = P₂^-1 A₁ P₁En el caso de que se trate de un endomorfismo: P₂= P₁ = P ==> A₂ = P^-1 A₁ P

Endomorfismos

Valores y vectores propios: f (x) = A x = lx
donde l es el valor propio (autovalor) y x ¹ 0 el vector propio (autovector).

Cálculo de valores propios: det (A - l I) = 0

Cálculo de vectores propios. Para cada valor propio l_i, resolvemos la ecuación matricial (A - l_iI ) x = 0
donde x y 0 son vectores columna.

A todo vector propio le corresponde un único valor propio.

Número de vectores propios (linealmente independientes) asociados al valor propio l_i = dimensión de E - rango (A - l_iI )

Diagonalización de endomorfismos.

Un endomorfismo es diagonalizable si existen tantos vectores propios como la dimensión del espacio vectorial en el que trabajamos (dimensión de la matriz del endomorfismo).

- Toda matriz simétrica (hermítica en general) siempre es diagonalizable.

- Si los valores propios son distintos entre sí, siempre es diagonalizable.

- Si hay valores propios repetidos, será diagonalizable cuando el número de vectores porpios asociados al valor propio repetido coincida con la multiplicidad de dicho valor propio.

La matriz diagonal D está formada por los valores propios en la diagonal principal (el resto de los elementos son nulos).
La base para la cual la matriz que caracteriza al endomorfismo es la diagonal está formada por los vectores propios.
La matriz de paso P que permite el paso de la base inicial (para la cual la matriz del endomorfismo en A) a la nueva base tiene por columnas a los vectores propios colocados en el mismo orden en que hemos colocado los valores propios en la matriz diagonal.

Relación entre las matrices: D = P^-1 A P

Aplicación de la diagonalización al cálculo de la potencia enésima de una matriz. A = P D P^-1 ==> Aⁿ = P Dⁿ P^-1
pero el cálculo de Dⁿ, es sencillo pues basta con elevar a la n los elementos de la diagonal principal.

Forma canónica de Jordan

En el caso de el endomorfismo no sea diagonalizable, es posible obtener una matriz que aunque no sea completamente diagonal, sí que tiene muchos elementos nulos. La forma canónica de Jordan va a ser una matriz triangular superior.

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