| Raíces de ecuaciones |
| Regla de Horner o de división sintética |
Evaluar un polinomio en un punto xo es equivalente a calcular el resto de la división por x - xo. (Es decir, hacemos "Ruffini" y nos quedamos con el resto) |
| Raíces múltiples de ecuaciones algebraicas |
La condición necesaria y suficiente para que un número xo sea una raíz múltiple de orden k de un polinomio P (x) es que anule a dicho polinomio y a sus k - 1 primeras derivadas, pero no a la siguiente. |
| Raíces enteras de ecuaciones |
- Toda raíz entera de una ecuación algebraica con coeficientes enteros es un divisor del término independiente.
- Toda raíz entera de una ecuación P (x) = 0, donde los coeficiente de P (x) son enteros, verifica simultáneamente:
P (1) es múltiplo de (xo - 1)
P (-1) es múltiplo de (xo + 1) |
| Raíces fraccionarias de ecuaciones algebraicas |
Para encontras las raíces fraccionarias de la ecuación P (x) = an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + ao, se efectúa la transformación x = y / an, calculándose las raíces enteras de esta nueva ecuación. Después se deshace el cambio. |
| Cota de Cardano - Vieta de las raíces reales de una ecuación |
Si todas las raíces de la ecuación P (x) = an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + ao = 0 son REALES, se verifica que ½ M ½£ [ (an-1 / an)2 - 2 (an-2 / an) ] 1/2
siendo x Î [- M , M] para toda raíz xi de la ecuación P (x) = 0. |
| Teorema de Bolzano |
Sea y = f (x) continua en el intervalo [a, b], teniendo f (a) y f (b) signos opuestos, entonces existe un punto intermedio c Î (a, b) que anula la función: f (c) = 0 |
| Método de la bisección o del semi-intervalo |
Básándose en el terorema de Bolzano, partimos de un intervalo en el que la función cambia de signo y evaluamos el signo de la función en el punto medio de dicho intervalo.
Reduciremos el nuevo intervalo a aquél en el que se produzca de nuevo un cambio de signo. Repitiendo el proceso hasta obtener la precisión requerida. |
| Método de iteración del punto fijo |
Consideremos una ecuación de la forma f (x) = 0, en la cual podremos despejar x "en función de x" (curioso, ¿no?), es decir la escribimos de la forma x = g (x).
Partimos de un punto xo, de forma que la primera iteración será x1 = g (xo); la segunda: x2 = g (x1), etc.
En general: xn = g (xn-1) |
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Convergencia del método:
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- 1 < g' (xo) < 1 |
| Método de Newton - Raphson |
Partimos de un punto xo y calculamos el punto x1 donde corla la recta tangente a la curva y = f (x) desde ese punto con el eje de abcisas.
x1 = xo - [ f (xo) / f ' (xo) ]
En general: xn+1 = xn - [ f (xn) / f ' (xn) ]
Inconveniente: debemos evaluar la función y la derivada en cada punto. |
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Convergencia del método:
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½g ' (xo)½ < 1 |
| Método de Newton modificado |
xn+1 = xn - [ f (xn) / f ' (xo) ]
Evaluamos la derivada sólo en el primer punto. |
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Derivación numérica
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| Desarrollo en serie de Taylor en torno al punto xo |
f (x) @ f (xo) + f '(xo) (x - xo) / 1! + f ''(xo) (x - xo)2 / 2! + f '''(xo) (x - xo)3 / 3! + ... |
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Nos quedamos con los dos primeros términos:
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f (x) @ f (xo) + f '(xo) (x - xo) + ... |
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Evaluamos en el punto x = xo + h
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f (xo + h) @ f (xo) + f '(xo) h + O (h2) |
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Primera aproximación a la derivada:
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f '(xo) = [ f (xo + h) - f (xo) ] / h + O (h) |
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Segunda aproximación a la derivada:
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f '(xo) = [ f (xo + h) - f (xo- h) ] / (2 h) + O (h2) |
| Integración numérica |
| aòb f (x) dx |
La integral definida entre a y b de la función f (x) nos da el área de la región limitada por la curva y = f (x) y el eje x |
| Tamaño del paso h |
h = (b - a) / N
donde N es el número de intervalos |
| Regla del rectángulo |
aòb f (x) dx @ h [ f (a) + f (a + h) + f (a + 2h) + ... + f (b - h) ] |
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aòb f (x) dx @ h [ f (a + h) + f (a + 2h) + ... + f (b - h) + f (b)] |
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N sumandos |
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Error: O (h) |
| Regla del punto medio |
aòb f (x) dx @ h [ f (a + h/2) + f (a + 3h/2) + ... + f (b - h/2) ] |
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N sumandos |
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Error: O (h2) |
| Regla del trapecio |
aòb f (x) dx @ h [ f (a) / 2 + f (a + h) + f (a + 2h) + ... + f (b - h) + f (b) / 2 ] |
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N + 1 sumandos |
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Error: O (h2) |
| Regla de Simpson 1/3 |
aòb f (x) dx @ h/3 [ f (a) + 4 f (a + h) + 2 f (a + 2h) + 4 f (a + 3h) + 2 f (a + 4h) ... + f (b)] |
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N debe ser un número par |
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N + 1 sumandos |
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Error: O (h4) |
| Método de Romberg |
En combinación con el método del trapecio |
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Ic (h) = Iv + a h2 + O (h4)
Ic (h/2) = Iv + a (h/2)2 + O (h4) |
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Multiplicando la segunda ecuación por 4, restando la primera y despejando Iv, se obtiene:
Iv = [ 4 Ic (h/2) - Ic (h) ] / 3 + O (h4) |
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Después se repite el proceso. |
| Interpolación y aproximación |
| Interpolación lineal |
Polinomio interpolador de primer grado que pasa por los puntos Po (xo, f (xo)) y P1 (x1, f (x1)) |
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P (x) = f (xo) + (x - xo) [ f (x1) - f (xo) ] / [x1 - xo] |
| Interpolación de Lagrange |
Dados (n+1) puntos, se trata de calcular el polinomio interpolador de grado n que pasa por todos ellos. |
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Si n = 2 (tres puntos)
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Po (xo, f (xo)) , P1 (x1, f (x1)) , P2 (x2, f (x2)) |
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P (x) = f (xo) Lo (x) + f (x1) L1 (x) + f (x2) L2 (x) |
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donde:
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Lo (x) = [ (x - x1) (x - x2) ] / [ (xo - x1) (xo - x2) ] |
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L1 (x) = [ (x - xo) (x - x2) ] / [ (x1 - xo) (x1 - x2) ] |
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L2 (x) = [ (x - xo) (x - x1) ] / [ (x2 - xo) (x2 - x1) ] |
| Recta de mínimos cuadrados |
y = a + b x |
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Construimos la función de dos variables:
f (a, b) = S (a + b xi - yi)2
donde el sumatorio se extiende desde i = 1 al número de datos n.
La condición de mínimo (o máximo) exige que ¶ f / ¶ a = 0 y que ¶ f / ¶ b = 0.
Ello conduce al sistema: |
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a n + b S xi = S yi |
| |
a S xi + b S xi2 = S xi yi |
| Parábola de mínimos cuadrados |
y = a + b x + c x2 |
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Construimos la función de tres variables:
f (a, b, c) = S (a + b xi + c xi2 - yi)2
donde el sumatorio se extiende desde i = 1 al número de datos n.
La condición de mínimo (o máximo) exige que ¶ f / ¶ a = ¶ f / ¶ b = ¶ f / ¶ c = 0.
Ello conduce al sistema: |
| |
a n + b S xi + c S xi2 = S yi |
| |
a S xi + b S xi2 + c S xi3 = S xi yi |
| |
a S xi2 + b S xi3 + c S xi4 = S xi2 yi |
| Tipo potencial |
y = a xb |
| |
Tomando logaritmos (da igual en qué base, por ejemplo neperianos -en base e-)
ln y = ln a + b ln x
Llamando
Y = ln y
A = ln a
X = ln X
podemos reducir el problema a la recta de mínimos cuadrados: Y = A + b X
(No olvidar deshacer los cambios) |
| Tipo exponencial |
y = a bx |
| |
Tomando logaritmos (da igual en qué base, por ejemplo neperianos -en base e-)
ln y = ln a + x ln b
Llamando
Y = ln y
A = ln a
B = ln b
podemos reducir el problema a la recta de mínimos cuadrados: Y = A + B x
(No olvidar deshacer los cambios) |
| Ecuaciones diferenciales |
| Queremos resolver la ecuación diferencial y' = f (x, y) con la condición y (xo) = yo |
| Método de Taylor de tres términos |
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Desarrollo en serie de Taylor:
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y (x) @ y (xo) + y '(xo) (x - xo) / 1! + y ''(xo) (x - xo)2 / 2! + ... |
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Evaluamos en el punto x = xn + h (con xo = xn):
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y (xn + h) @ y (xn) + y '(xn) h + y ''(xn) h2 / 2! + ... |
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En una notación más compacta:
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yn+1 = yn + yn' h + yn'' h2 / 2 |
| Método de Euler o de las tangentes |
yn+1 = yn + yn' h =
yn+1 = yn + h f (xn, yn) |
| Método de Euler modificado |
yn+1 = yn + (h/2) [ f (xn, yn) + f (xn+1, y*n+1) ] |
|
donde
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y*n+1 = yn + h f (xn, yn) |
| Método de Runge - Kutta |
yn+1 = yn + [k1 + 2 k2 + 2 k3 + k4] / 6 |
|
donde
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k1 = h f (xn, yn) |
| |
k2 = h f (xn+ h/2, yn+ k1/2) |
| |
k3 = h f (xn+ h/2, yn+ k2/2) |
| |
k4 = h f (xn+ h, yn+ k3) |
| Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden |
x ' (t) = f (t, x, y)
y ' (t) = g (t, x, y) |
x (to) = xo
y (to) = yo |
| Taylor |
xn+1 = xn + xn' h + xn'' h2 / 2
yn+1 = yn + yn' h + yn'' h2 / 2 |
| Euler |
xn+1 = xn + h xn'
yn+1 = yn + h yn' |
|
donde
|
xn' = f (tn, xn, yn)
yn' = g (tn, xn, yn)
xn'' = f ' (tn, xn, yn)
yn'' = g ' (tn, xn, yn) |
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Fórmulas 
